John precisa mandar uma carta para Peter, que mora na Rua Tesla, mas não consegue lembrar o número da casa. Ele sabe que o número tem quatro dígitos, é múltiplo de 5 e 7 e que o último dígito é 0. A partir dessas informações, é possível determinar quantas cartas John precisa enviar para garantir que Peter a receba.
Os múltiplos são números que podem ser obtidos multiplicando um número por outro inteiro. Por exemplo, os múltiplos de 5 são todos os números que podem ser escritos na forma 5n, onde n é um número inteiro.
Da mesma forma, os múltiplos de 7 são todos os números que podem ser escritos na forma 7n, onde n é um número inteiro.
Para identificar se um número é múltiplo de 5, basta verificar se o seu último dígito é 0 ou 5. Por exemplo, os números 10, 15, 20, 25 são múltiplos de 5.
Já para identificar se um número é múltiplo de 7, não há uma regra simples como no caso dos múltiplos de 5. No entanto, podemos verificar se um número é múltiplo de 7 através do teste de divisibilidade por 7, que consiste em subtrair o dobro do último dígito do número restante (isto é, os dígitos restantes, excluindo o último) e verificar se o resultado é um múltiplo de 7. Por exemplo, o número 119 é múltiplo de 7, pois 11 - 2 x 9 = -7, que é um múltiplo de 7.
Voltando ao problema proposto, sabemos que o número tem 4 dígitos, é múltiplo de 5 e 7, e termina em 0. Portanto, podemos concluir que o número mínimo de cartas que John precisa enviar para garantir que Peter a receba é 10. Os números possíveis são 1050, 1070, 1100, 1120, 1150, 1170, 1200, 1260, 1330 e 1400. Dessa forma, independentemente do número exato da casa de Peter, a carta será entregue com certeza.
Para identificar todos os números de quatro dígitos que são múltiplos de 5 e 7, é necessário seguir alguns passos. Primeiro, é preciso identificar quais são os múltiplos de 5 e 7, que são respectivamente 5, 7, 10, 14, 15, 20, 21, 25, 28, 30, 35, 40, 42, 45, 49, 50, 55, 56, 60, 63, 65, 70, 75, 77, 80, 84, 85, 90, 98 e 100.
Em seguida, é importante lembrar que para um número ser múltiplo de 5 e 7, ele precisa ser múltiplo do produto entre eles, ou seja, 35. Assim, para encontrar todos os números de quatro dígitos que são múltiplos de 5 e 7, basta multiplicar 35 por um número de três dígitos que tenha o último dígito igual a zero.
Por exemplo, o menor número de três dígitos que é múltiplo de 35 e tem o último dígito igual a zero é 140. Logo, para encontrar todos os números de quatro dígitos que são múltiplos de 5 e 7, basta multiplicar 140 por 10, 11, 12, ..., 99, obtendo assim os números 1400, 1540, 1680, ..., 9730.
Portanto, para garantir que Peter receba a carta, John precisa enviar pelo menos 15 cartas, uma vez que existem 15 números de quatro dígitos que são múltiplos de 5 e 7.
Números que são múltiplos de 5 e 7 são chamados de múltiplos comuns de 5 e 7. Para identificar números de quatro dígitos que são múltiplos de 5 e 7, precisamos encontrar os múltiplos comuns de 5 e 7 que têm quatro dígitos.
Para encontrar os múltiplos comuns de 5 e 7, podemos multiplicar esses dois números. O resultado dessa multiplicação é 35. Portanto, um número que é múltiplo comum de 5 e 7 é um múltiplo de 35.
Para identificar números de quatro dígitos que são múltiplos de 5, 7 e que terminam em 0, precisamos encontrar os múltiplos comuns de 5, 7 e 10 que têm quatro dígitos. Um número que termina em 0 é um múltiplo de 10.
Para encontrar os múltiplos comuns de 5, 7 e 10, podemos multiplicar esses três números. O resultado dessa multiplicação é 350. Portanto, um número que é múltiplo comum de 5, 7 e 10 é um múltiplo de 350.
Para encontrar todos os números de quatro dígitos que são múltiplos de 5, 7 e que terminam em 0, precisamos encontrar os múltiplos de 350 que têm quatro dígitos. O menor múltiplo de 350 com quatro dígitos é 1050 (350 x 3). O maior múltiplo de 350 com quatro dígitos é 9975 (350 x 28).
Portanto, John precisa enviar todas as cartas cujo número começa com o prefixo 35 e termina em 0, totalizando 4 cartas (3500, 3510, 3520 e 3570), para garantir que Peter receba a carta.
Para determinar o número mínimo de cartas que John precisa enviar para garantir que Peter a receba, precisamos encontrar todos os números de quatro dígitos que são múltiplos de 5 e 7 e que terminam em 0.
Conforme discutido anteriormente, para um número ser múltiplo de 5 e 7, ele precisa ser múltiplo do produto entre esses dois números, ou seja, 35. Portanto, precisamos encontrar todos os números de quatro dígitos que são múltiplos de 35 e terminam em 0.
O menor número de quatro dígitos que é múltiplo de 35 e termina em 0 é 1050. O maior número de quatro dígitos que é múltiplo de 35 e termina em 0 é 9975. Para encontrarmos a quantidade mínima de cartas que John precisa enviar, basta calcular quantos números de quatro dígitos existem nesse intervalo.
Podemos utilizar a fórmula para calcular a quantidade de termos em uma PA (progressão aritmética) para isso. A PA é definida pelos termos: 1050, 1085, 1120, ..., 9975. O primeiro termo é 1050, o último é 9975 e a razão é 35 (já que estamos somando 35 a cada termo). Assim, a quantidade de termos nessa PA é:
n = (9975 - 1050) / 35 + 1 n = 270
Portanto, há 270 números de quatro dígitos que são múltiplos de 5 e 7 e que terminam em 0 no intervalo de 1050 a 9975. Logo, John precisa enviar no mínimo 270 cartas para garantir que Peter receba a carta.
A partir dos tópicos apresentados, é possível concluir que John precisa enviar apenas uma carta para garantir que Peter a receba. Isso ocorre porque só existe um número de quatro dígitos que é múltiplo de 5 e 7 e termina em 0, que é o número 3.150. Sendo assim, John precisa enviar apenas uma carta para a Rua Tesla, sem precisar saber o número exato da casa de Peter. A matemática pode ser uma ferramenta poderosa em situações cotidianas como essa, e pode nos ajudar a resolver problemas de maneira eficiente.
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